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    (北师大版)数学八年级上册知识点归纳总结

    2021-01-04 北师大初中数学 42 ℃ 0 评论
    原文标题:(北师大版)数学八年级上册知识点归纳总结
    本文摘要:第一章 勾股定理1.勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a²+b²=c²。2.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c有这种关系,那么这个三角形是直角三角形。3.勾股数满足的三个正整数,称为勾股数。常见的勾股数组... ...
    本文关键词:北师大版初中数学知识结构,初中数学北师大八年级上册
    正文:




    第一章 勾股定理




    1.勾股定理


    直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a²+b²=c²。


    2.勾股定理的逆定理


    如果三角形的三边长a,b,c有这种关系,那么这个三角形是直角三角形。


    3.勾股数


    满足的三个正整数,称为勾股数。


    常见的勾股数组有:(3,4,5);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(20,21,29);(9,40,41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)




    第二章 实数




    1.实数的概念及分类


    ①实数的分类



    ②无理数


    无限不循环小数叫做无理数。


    在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:


    a.开方开不尽的数,如 √7 ,³√2等;


    b.有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π /₃+8等;


    c.有特定结构的数,如0.1010010001…等;


    d.某些三角函数值,如sin60°等


    2.实数的倒数、相反数和绝对值


    ①相反数


    实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。


    ②绝对值


    在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。|a|≥0。0的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。


    ③倒数


    如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。


    ④数轴


    规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。


    解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。


    ⑤估算


    3.平方根、算数平方根和立方根


    ①算术平方根


    一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。


    性质:正数和零的算术平方根都只有一个,0的算术平方根是0。


    ②平方根


    一般地,如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。


    性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。


    开平方求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。注意 √a的双重非负性:√a≥0 ; a≥0


    ③立方根


    一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。


    表示方法:记作 ³√a


    性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。


    注意:- ³√a=³√-a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。


    4.实数大小的比较


    ①实数比较大小


    正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;


    数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;


    两个负数,绝对值大的反而小。


    ②实数大小比较的几种常用方法


    数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。


    求差比较:设a、b是实数


    a-b>0↔a>b;


    a-b=0↔a=b;


    a-b<0↔a<b 。


    求商比较法:设a、b是两正实数,


    绝对值比较法:设a、b是两负实数,则∣a∣>∣b∣↔a<b。


    平方法:设a、b是两负实数,则 a²>b²↔a<b 。


    5.算术平方根有关计算(二次根式)


    ①含有二次根号“ √ ”;被开方数a必须是非负数。


    ②性质:



    ③运算结果若含有“ √ ”形式,必须满足:


    a.被开方数的因数是整数,因式是整式


    b.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式


    6.实数的运算


    ①六种运算:加、减、乘、除、乘方 、开方。


    ②实数的运算顺序


    先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。


    ③运算律


    加法交换律 a+b= b+a


    加法结合律 (a+b)+c= a+( b+c )


    乘法交换律 a×b= b×a


    乘法结合律 (a×b)×c = a×( b×c )


    乘法对加法的分配律 a×( b+c )=a×b+a×c




    第三章 位置与坐标




    1.确定位置


    在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。


    2.平面直角坐标系及有关概念


    ①平面直角坐标系


    在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。


    ②坐标轴和象限


    为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。


    注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。


    ③点的坐标的概念


    a.对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。


    b.点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。


    c.平面内点的与有序实数对是一一对应的。


    ④不同位置的点的坐标的特征


    a.各象限内点的坐标的特征


    点P(x,y)在第一象限→ x>0,y>0


    点P(x,y)在第二象限 → x<0,y>0


    点P(x,y)在第三象限 → x<0,y<0


    点P(x,y)在第四象限 → x>0,y<0


    b.坐标轴上的点的特征


    点P(x,y)在x轴上 → y=0,x为任意实数


    点P(x,y)在y轴上 → x=0,y为任意实数


    点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上→ x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点


    c.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征


    点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上 → x与y相等


    点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 → x与y互为相反数


    d.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征


    位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。


    位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。


    e.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征


    点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)


    点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)


    点P与点p’关于原点对称,横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)


    f.点到坐标轴及原点的距离


    点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:


    点P(x,y)到x轴的距离等于 ∣y∣


    点P(x,y)到y轴的距离等于 ∣x∣


    点P(x,y)到原点的距离等于 √x2+y2


    3.坐标变化与图形变化的规律





    第四章 一次函数




    1.函数


    一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。


    2.自变量取值范围


    使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。


    3.函数的三种表示法及其优缺点


    a.关系式(解析)法


    两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。


    b.列表法


    把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。


    c.图象法


    用图象表示函数关系的方法叫做图象法。


    4.由函数关系式画其图像的一般步骤


    a.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值。


    b.描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点。


    c.连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。


    5.正比例函数和一次函数


    ①正比例函数和一次函数的概念


    a.一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成y=kx+b (k,b为常数,k不等于 0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。


    b.特别地,当一次函数y=kx+b中的b=0时(k为常数,k 不等于0),称y是x的正比例函数。


    ②一次函数的图像:


    所有一次函数的图像都是一条直线。


    ③一次函数、正比例函数图像的主要特征


    a.一次函数y=kx+b的图像是经过点(0,b)的直线;


    b.正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的直线。



    ④正比例函数的性质


    一般地,正比例函数 有下列性质:


    a.当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;


    b.当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。


    ⑤一次函数的性质


    一般地,一次函数 有下列性质:


    a.当k>0时,y随x的增大而增大;


    b.当k<0时,y随x的增大而减小。


    ⑥正比例函数和一次函数解析式的确定


    a.确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k 不等于0)中的常数k。


    b.确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k 不等于0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法.


    ⑦一次函数与一元一次方程的关系


    a.任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.


    b.结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.


    c.从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.




    第五章 二元一次方程组




    1.二元一次方程


    ①二元一次方程


    含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。


    ②二元一次方程的解


    适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。


    2.二元一次方程组


    ①含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。


    ②二元一次方程组的解


    二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。


    ③二元一次方程组的解法


    a.代入(消元)法


    b.加减(消元)法


    ④一次函数与二元一次方程(组)的关系:


    a.一次函数与二元一次方程的关系:


    直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解


    b.一次函数与二元一次方程组的关系:


    二元一次方程组




    的解可看作两个一次函数







    的图象的交点。


    当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解;


    当函数图象(直线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。


    第六章 数据的分析




    1.刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:平均数 、众数、中位数


    2.平均数


    a.平均数:一般地,对于n个数,我们把它们的和与n之商叫做这n个数的算术平均数,简称平均数。


    b.加权平均数。


    3.众数


    一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。


    4.中位数


    一般地,将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。




    第七章 平行线的证明




    1.平行线的性质


    一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.


    也可以简单的说成:


    a.两直线平行,同位角相等;


    b.两直线平行,内错角相等;


    c.两直线平行,同旁内角互补。


    2.判定平行线


    (1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行​。
    也可以简单说成:



    a.同位角相等两直线平行;
    b.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;


    c.如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。


    (2)其他两条可以简单说成:


    a.内错角相等两直线平行。


    b.同旁内角相等两直线平行​。​


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