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    北师大版初中数学八年级(下)第一章第二节直角三角形(精品)

    2021-01-04 北师大初中数学 31 ℃ 0 评论
    原文标题:北师大版初中数学八年级(下)第一章第二节直角三角形(精品)
    本文摘要:第一章 三角形的证明1.2直角三角形一、知识点梳理1.直角三角形的性质定理:①直角三角形的两个锐角互余②直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方2.直角三角形的判定定理:①有两个角互余的三角形是直角三角形②如果三角形两边的平方和等于第三边的... ...
    本文关键词:北师大初中数学视频,初中北师大版八下数学作业本答案
    正文:

    第一章 三角形的证明


    1.2直角三角形


    一、知识点梳理


    1.直角三角形的性质定理:


    ①直角三角形的两个锐角互余


    ②直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方


    2.直角三角形的判定定理:


    ①有两个角互余的三角形是直角三角形


    ②如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三


    角形


    3.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题成为互逆命题,其中一个命题成为另一个命题的逆命题。


    4.逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理成为另一个定理的逆定理。


    5.直角三角形全等的证明:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。


    二、经典题型总结


    题型一:利用直角三角形的性质求线段长


    题型二:利用互逆命题的关系写逆命题


    题型三:利用“斜边、直角边”(HL)证明两直角三角形全等


    题型四:与直角三角形有关的动点、最值问题


    题型五:与直角三角形有关的综合提升题


    三、解题技巧点睛


    1.在直角三角形中求斜边上的高的时候可以考虑使用面积相等的方法(等积法)


    2.在等腰直角三角形(或等腰等边三角形)内部出现三角形的题型中,有时可以考虑用旋转的方法构造全等三角形解题


    3.灵活运用勾股定理的逆定理,若题干中未明确直角三角形,而是给定了几条边的长度,那么就可以考虑一下是否需要逆定理


    4.灵活运用①直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半


    ②直角三角形中斜边的中线长等于斜边的一半


    四、易错点分析


    原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确,其逆命题也不一定错误;正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题,每一个定理不一定有逆定理,如果这个定理存在着逆定理,则一定是真命题.


    五、典型例题分析


    题型一:利用直角三角形的性质求线段长


    例题:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(  )



    题型二:利用互逆命题的关系写逆命题


    例题:判断下列命题的真假,写出逆命题,并判断逆命题的真假


    (1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;


    (2)如果a>b,那么a2>b2


    (3)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零;


    (4)如果ab<0,那么a>0,b<0.




    题型三:利用“斜边、直角边”(HL)证明两直角三角形全等


    题型:在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:Rt△ABE≌Rt△CBF





    题型四:与直角三角形有关的综合提升题


    例题:如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线l,AM⊥l于点M,BN⊥l于点N.


    (1)求证:MN=AM+BN;


    (2)如图②,若过点C作直线l与线段AB相交,AM⊥l于点M,BN⊥l于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.





    六、中考真题再现


    (2019.安徽.12题)命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为   


    (2019.赤峰.26题)【问题】


    如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.


    【探究发现】


    (1)如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;


    【数学思考】


    (2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程;


    【拓展引申】


    (3)如图4,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不含端点A、B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.



    七、习题巩固训练


    1.已知一个直角三角形的周长是2,斜边上的中线长为2,则这个三角形的面积为   


    2.如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,则CD的长为   



    3.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=   °(点A,B,P是网格线交点).



    4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6 cm,腰AB上的高CE=8 cm,则△ABC的周长等于________ cm.



    5.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC,∠DCB=60°,AB+BC=8,则AC的长是   



    6.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点P为△ABC内的一点,AP=2,BP=5,∠APC=120°,则PC的长为(  )



    7.如图,一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上,设木棍中点为,若木棍端沿墙下滑,且沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点到点的距离   .(变/不变)



    8.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,F为CD上一点,且CF=CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,BE=12,则AB的长为   



    9.如图,在中,D是AB的中点,,,交AC于点若,,则_________.



    10.根据命题“两直线平行,内错角相等.”解决下列问题:


    (1)写出逆命题;


    (2)判断逆命题是真命题还是假命题;


    (3)根据逆命题画出图形,写出已知,求证.




    11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.





    12.如图所示,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD,连接DC,以DC为边作等边△DCE,B,E在C,D的同侧,若,求BE的长.







    13.如图所示,在Rt△ABC中,,D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.





    14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.


    (1)证明:DC=DG;


    (2)若DG=5,EC=2,求DE的长.







    15.如图、已知∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P为OC上任意一点,PD∥OA交OB于D,PE⊥OA于E.如果OD=4cm,求PE的长.







    16.如图,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是AC、BD的中点.求证:MN⊥BD.







    17.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等ACB.


    (1)求∠B的度数;


    (2)求证:CE是AB边上的中线,且CE=AB.







    18.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AC=26,BD=24,M、N分别是AC、BD的中点,求线段MN的长为.





    19.如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点,


    (1)如图1,求证:△ECD是等腰三角形;


    (2)如图2,CD与AB交点为F,若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长.







    20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.点D是AB中点,点E为边AC上一点,连接CD,DE,以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF,连接BF.


    (1)△BCD的形状为   


    (2)随着点E位置的变化,∠DBF的度数是否变化?并结合图说明你的理由;


    (3)当点F落在边AC上时,若AC=6,请直接写出DE的长.


    本文作者:数学老秦,转载本文请注明作者出处~

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